Question

如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，AE 是 BC 边的中线，过点C 作 CF⊥AE，垂足为点 F，过点 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延长线于点 D．

（1）试证明：AE=CD；

（2）若 AC=12cm，求线段 BD 的长度．

Answer

（1）证明见解析（2）BD=6cm．

【解析】

（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答；

（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12cm，即可求出BD的长．

（1）∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°，

∴∠D=∠AEC，

又∵∠DBC=∠ECA=90°，

且BC=CA，

∴△DBC≌△ECA（AAS），

∴AE=CD；

（2）因为△ACE ≌△CBD，所以BD =CE，

因为CE=BC=AC=×12=6cm，

所以BD =6cm．