Question

如图1，已知抛物线C₁：与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与轴的交点为C（0，-3），其顶点为D．

（1）求抛物线C₁的解析式；

（2）如图1，将△OBC沿轴向右平移m个单位长度（0﹤≤）得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分（四边形BPGQ）的面积记为S，用含m的代数式表示S；

（3）如图2，将抛物线C₁平移，使其顶点为原点O，得到抛物线C₂.若直线与抛物线C₂交于S、T两点，点是线段ST上一动点（不与S、T重合），试探究抛物线C₂上是否存在一点R，点R关于点N的中心对称点K也在抛物线C₂上.

  

Answer

（1）；（2）S=；（3）存在一点R，点R关于点的中心对称点K也在抛物线上.

【解析】

（1）将已知的抛物线上两点的坐标代入抛物线中进行求解即可．

（2）、（3）见详解.

【解析】
（1）∵ ，在抛物线上

∴ 解得

∴抛物线的解析式为

（2）设直线的解析式为，

则 解得

∴ 直线的解析式为．

△沿轴向右平移个单位长度（0﹤≤）得到△

易得直线的解析式为

设直线的解析式为

则 解得

则直线的解析式为

如图交于点，交于点，则，

联立 解得

即点（，）

∴

=

（3）设（，4）,若抛物线：上存在一点（，），

则点关于点成中心对称的点为K（，）

假设（，）在抛物线：上

∴

整理得关于 的一元二次方程

∵ 点（，4）在线段上且不与、重合

∴ 则

∴

故关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.

∴抛物线上存在一点R，点R关于点的中心对称点K也在抛物线上.