Question

如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．

⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；

⑵求证：△ABC是直角三角形；

⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.

【解析】

（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．

【解析】
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，
即y=-x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得 ,

解得或 ,

∴B（2，0），C（-1，-3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，

则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB= ，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有或，

当时，则有 ，即|x||-x+2|=|x|，

∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，

∴x≠0，

∴|-x+2|=，即-x+2=± ，解得x= 或x= ，

此时N点坐标为（，0）或（，0）；

②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，

∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，
此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（ ，0）或（ ，0）或（-1，0）或（5，0）．