Question

阅读理【解析】

由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

示例：分解因式：x²+5x+6=x²+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）

问题解决：

关于x的一元二次方程x²-（k+3）x+2k+2=0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，用分解因式的办法求k的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）k的取值范围为k＜0．

【解析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

（1）证明：∵在方程x2-（k+3）x+2k+2=0中，

△=[-（k+3）]2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）【解析】
∵x2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，

∴x1=2，x2=k+1．

∵方程有一根小于1，

∴k+1＜1，解得：k＜0，

∴k的取值范围为k＜0．