Question

已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，分别延长AB和DC，它们相交于P，若∠APD=60°，AB=5，PC=4，则⊙O的面积为（　　）

A. 25π    B. 16π    C. 15π    D. 13π

Answer

D

【解析】

连接AC，由圆周角定理可得出∠ACD=90°，再由圆内接四边形的性质及三角形内角和定理可求出∠PAC=30°，由直角三角形的性质可求出AP、AC的长，由相似三角形的判定定理及性质可得出CD的长，再根据勾股定理接可求出AD的长，进而求出该圆的面积．

连接AC，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∵∠APD=60°，

∴∠PAC=30°，

∴AP=2PC=2×4=8，

∵AB=5，

∴PB=8-5=3，

∵四边形ABCD是以AD为直径的圆内接四边形，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠BCD+∠PCB=180°，

∴∠BAD=∠PCB，∠APD=∠APD，

∴△PCB∽△PAD，

∴，即，PD=6，

∴CD=PD-PC=6-4=2，

∴AC=，

在Rt△ACD中，AD=．

∴OA=AD=，

∴⊙O的面积=π×（）2=13π．

故选D．