Question

如图①,已知抛物线y=ax²+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；   

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；   

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.

【解析】

（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四种情况：

如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．

（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），

把A（0，3）代入得：3=3a，

a=1，

∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；

（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，

∴∠AOE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE=OA=3，

∴E（3，3），

易得OE的解析式为：y=x，

过P作PG∥y轴，交OE于点G，

∴G（m，m），

∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，

∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，

=×3×3+PG•AE，

=+×3×（-m2+5m-3），

=-m2+m，

=（m-）2+，

∵-＜0，

∴当m=时，S有最大值是；

（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，

易得△OMP≌△PNF，

∴OM=PN，

∵P（m，m2-4m+3），

则-m2+4m-3=2-m，

解得：m=或，

∴P的坐标为（，）或（，）；

如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN=FM，

则-m2+4m-3=m-2，

解得：x=或；

P的坐标为（，）或（，）；

综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．