Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=，OC=，则另一直角边BC的长为__________．

Answer

【解析】

如图所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，证明△AOM≌△BOF，根据全等三角形的可得AM=OF，OM=FB，再证明四边形ACFM为矩形，根据矩形的性质可得AM=CF，AC=MF=，在等腰直角三角形△OCF中，根据勾股定理求得CF=OF=1，再求得FM=，根据BC=CF+BF即可求得BC的长.

如图所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，

∵四边形ABDE为正方形，

∴∠AOB=90°，OA=OB，

∴∠AOM+∠BOF=90°，

又∠AMO=90°，

∴∠AOM+∠OAM=90°，

∴∠BOF=∠OAM，

在△AOM和△BOF中， ，

∴△AOM≌△BOF（AAS），

∴AM=OF，OM=FB，

又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，

∴四边形ACFM为矩形，

∴AM=CF，AC=MF=，

∴OF=CF，

∴△OCF为等腰直角三角形，

∵OC=，

∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，

解得：CF=OF=1，

∴FB=OM=OF-FM=1-=，

则BC=CF+BF=．

故答案为：.