Question

如图所示，四边形 ABCD，∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m．

(1)求证：BD⊥CB；

(2)求四边形 ABCD 的面积；

(3)如图 2，以 A 为坐标原点，以 AB、AD所在直线为 x轴、y轴建立直角坐标系，

点P在y轴上，若 S_△PBD=S_{四边形ABCD}，求 P的坐标．

Answer

（1）证明见解析；（2）36m2；（3）P 的坐标为（0，-2）或（0，10）．

【解析】

（1）先根据勾股定理求出 BD 的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明

BD⊥BC；

（2）根据四边形 ABCD 的面积=△ABD 的面积+△BCD 的面积，代入数据计算即可求解；

（3）先根据 S△PBD=S四边形 ABCD，求出 PD，再根据 D 点的坐标即可求解．

（1）证明：连接 BD．

∵AD=4m，AB=3m，∠BAD=90°，

∴BD=5m．

又∵BC=12m，CD=13m，

∴BD2+BC2=CD2．

∴BD⊥CB；

（2）四边形 ABCD 的面积=△ABD 的面积+△BCD 的面积

= ×3×4+ ×12×5

=6+30

=36（m2）．

故这块土地的面积是 36m2；

（3）∵S△PBD=S 四边形ABCD

∴•PD•AB= ×36，
∴•PD×3=9，

∴PD=6，

∵D（0，4），点 P 在 y 轴上，

∴P 的坐标为（0，-2）或（0，10）．