Question

如图，A（0，4）是直角坐标系 y 轴上一点，动点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴正半轴运动，速度为每秒 1 个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为 t 秒．

（1）若 AB∥x 轴，求 t 的值；

（2）若OP=OA，求B点的坐标．

（3）当 t=3 时，x 轴上是否存在有一点 M，使得以 M、P、A 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 M 的坐标．

Answer

（1）4；（2）点 B 的坐标为（6，2）；（3）见解析.

【解析】

由 AB∥x 轴，可找出四边形 ABCO 为长方形，再根据△APB 为等腰三角形可得知∠OAP=45°，从而得出△AOP 为等腰直角三角形，由此得出结论；

作 BQ⊥x 轴于点 Q，证△OAP≌△QPB 得 BQ=OP=OA=2，PQ=AO=4，据此知 OQ=OP+PQ=6，从而得出答案；

设点 M（x，0），知 MA=，MP=|x-3|，再分 MA=MP，MA=AP， AP=MP 三种情况求解可得．

【解析】
（1）过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，如图 1 所示．

∵AO⊥x 轴，BC⊥x 轴，且 AB∥x 轴，

∴四边形 ABCO 为长方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB 为等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，

∴△AOP 为等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4 （秒）， 故 t 的值为 4．

（2）如图 2，过点 B 作 BQ⊥x 轴于点 Q，

∴∠AOP=∠BQP=90°，

∴∠OAP+∠OPA=90°，

∵△ABP 为等腰直角三角形，

∴PA=PB，∠APB=90°，

∴∠AOP+∠BPQ=90°，

∴∠OAP=∠QPB，

∴△OAP≌△QPB（AAS），

∴ BQ=OP= OA=2，PQ=AO=4，

则 OQ=OP+PQ=6，

∴点 B 的坐标为（6，2）；

（3）当 t=3 时，即 OP=3，

∵OA=4，

∴AP=5，

设点 M（x，0），

则 MA==，MP=|x-3|，

①当 MA=MP 时， =|x-3|，解得

x=- ；

②当 MA=AP 时， =5，解得 x=-3 或 x=3（舍）；

③当 AP=MP 时，|x-3|=5，解得：x=8 或 x=-2；

综上，点 M 的坐标为（ ，0）或（-3，0）或（8，0）或（-2，0）