Question

（题文）如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．

（1）求证：AD=DC；

（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）等边三角形，证明见解析

【解析】

试题（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB=∠CBD进而得出AD=DC，

（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．

（1）证明：∵DC‖AB，

∴∠CDB=∠ABD，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD，

∴∠CDB=∠CBD，

∴BC=DC，

又∵AD=BC，

∴AD=DC；

（2）△DEF为等边三角形，

证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，

∴点F是BD的中点，

∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．

∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，

∴△DEF为等边三角形．