Question

在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB=10，如图作∠DBO=∠ABO，∠CAy=∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．

（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；

（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE⊥CD于点E，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPE与△OQF全等？

Answer

（1）AC∥BD，AC=BD﹣10；（2）当两动点运动时间为2、、12秒时，△OPE与△OQF全等.

【解析】

（1）①根据全等三角形的判定定理ASA证得结论；

②利用①中全等三角形的性质得到：AC∥BD，AC=BD-10；

（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时（ii）当点P、Q都在y轴上时，（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时，列方程即可得到结论．

（1）①如图，

∵∠DBO=∠ABO，OB⊥AE，

∴∠BAO=∠BEO，

∴AB=BE，

∴AO=OE，

∵∠CAy=∠BAO，

∴∠CAy=∠BEO，

∴∠DEO=∠CAO

在△ACO与△EDO中，

，

∴△ACO≌△EDO（ASA）；

②由①知，△ACO≌△EDO，

∴∠C=∠D，AC=DE，

∴AC∥BD，AC=BD﹣10；

（2）设运动的时间为t秒，

（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO=QO得：6﹣t=8﹣2t，解得t=2（秒），

（ii）当点P、Q都在y轴上时PO=QO得：6﹣t=2t﹣8，解得t=（秒），

（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO=QO得：t﹣6=2t﹣8，解得t=2（秒）不合题意；

当点Q提前停止时，有t﹣6=6，解得t=12（秒），

综上所述：当两动点运动时间为2、、12秒时，△OPE与△OQF全等.