Question

点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于(    )

A. 75°    B. 60°    C. 45°    D. 30°

Answer

C

【解析】

过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，先利用AAS证明△ADP≌△PEF，根据全等三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．

过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，

∴∠APD+∠EPF=90°，

∴∠ADP=∠EPF，

在△APD和△FEP中

∠ADP=∠FPE

∠A=∠F=90°

PD=EP，

∴△APD≌△FEP（AAS），

∴AP=EF，AD=PF，

又∵AD=AB，

∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，

∴AP=BF，

∴BF=EF，又∠F=91°，

∴△BEF为等腰直角三角形，

∴∠EBF=45°，又∠CBF=91°，

则∠CBE=45°．

故选C．