Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax²+bx-3a（a>0）经过点A将点B向右平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标;

(2)求抛物线的对称轴;

(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

Answer

（1）C（5，1）；（2）抛物线的对称轴x=1；（3）a≥或a＜-或a=-．

【解析】

（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；

（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；

（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．

（1）与y轴交点：令x=0代入直线y=x+1得y=1，

∴B（0，1），

∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，

∴C（5，1）；

（2）与x轴交点：令y=0代入直线y=x+1得x=-1，

∴A（-1，0），

∵将点A（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx-3a中得0=a-b-3a，即b=-2a，

∴抛物线的对称轴x=-；

（3）∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0）且对称轴x=1，

由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），

①a＞0时，如图1，

将x=0代入抛物线得y=-3a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴-3a＜1，

解得a＞-，

将x=5代入抛物线得y=12a，

∴12a≥1，

解得a≥ ，

∴a≥；

②a＜0时，如图2，

将x=0代入抛物线得y=-3a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴-3a＞1，

∴a＜-；

③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，1），如图3，

将点（1，1）代入抛物线得1=a-2a-3a，

解得a=-．

综上所述，a≥或a＜-或a=-．