Question

如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（ ）

A.     B.     C.     D.

Answer

A

【解析】

【解析】

过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，

∵N在直线y="3" 4 x+3上，

∴设N的坐标是（x，3 4 x+3），

则DN=-（3 4 x+3），OD=-x，

y="3" 4 x+3，

当x=0时，y=3，

当y=0时，x=-4，

∴A（-4，0），B（0，3），

即OA=4，OB=3，

在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，

∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，

∴3×4=5OC，

OC="12" 5 ，

∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，

∴∠MNO=45°，

∴sin45°="OC" ON ="12" 5 ON ，

∴ON="12" 2 5 ，

在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，

即(-3 4 x-3)2+（-x）2="(12" 2 5 )2，

解得：x1="-84" 25 ，x2="12" 25 ，

∵N在第二象限，

∴x只能是-84 25 ，

3 4 x+3="12" 25 ，

即ND="12" 25 ，OD="84" 25 ，

tan∠AON="ND" OD ="1" 7 ．

故选A．