Question

如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为CD边的中点，，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于__________cm．

Answer

1.5或2.5

【解析】①过P作PN⊥BC，交BC于点N，如图所示：

则∠PNQ=∠APN=90°，

∵四边形ABCD为正方形，边长为4cm，E为CD边的中点，

∴AD=DC=PN=4，∠D=90°，DE＝2

∴AE= ，

在Rt△ADE和Rt△PNQ中，

∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），

∴∠DAE=∠NPQ，

∵∠APQ+∠NPQ=90°，

∴∠APQ+∠DAE=90°，

∴∠AMP=90°，

∵M为AE的中点，

∴AM= ＝ ，

∵∠AMP=∠D=90°，∠PAM=∠EAD，

∴△APM∽△AED，

∴ ，即，

∴AP=2.5；

②根据对称性得：PD=2.5

AP=AD-PD=4-2.5＝1.5；

故答案是：1.5或2.5。