Question

如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上.

（1）求证：△EBF∽△FCD；

（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．

Answer

(1)证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题（1）由正方形的性质得到∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG．由∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，得到 ∠EFB =∠FDC．故△EBF∽△FCD；

（2）在Rt△CDF中，由勾股定理得到DF的长，由△EBF∽△FCD，得到 BE的长，再由勾股定理得到GH=的长，由于DG=DF－FG=，故可得到 tan∠HDG的值．

试题解析：（1）证明：∵ 正方形ABCD，正方形EFGH，∴∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG．又∵ 点F在BC上，点G在FD上，∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，∴∠EFB =∠FDC．∴△EBF∽△FCD；

（2）【解析】
∵BF=3，BC=CD=12，∴CF=9，DF=，由（1）得，∴BE=，∴GH=FG=EF=，DG=DF－FG=，∴tan∠HDG=．