Question

如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．

（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．

①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；

②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

Answer

（1）AD+DE=4；（2）①4；②．

【解析】

试题（1）由∠ABC=45°且α=90°，可得到A、D、E三点共线、B、D、C三点共线，故可得AD+DE=4；

（2）①图形见试题解析，设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，则可证△ADE ≌△BDC，则可得到AE= BC=4，由平移的性质可AE= EF=4，在直角三角形AEF中，由于∠AFE=45°，可以求得AF的长；

②．

试题解析：（1） AD+DE=4．

（2）① 补全图形，如下图所示．

设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，如图．

∠ADB=∠CDE =90°，∴∠ADE=∠BDC，在 △ADE与△BDC中，∵AD=BD，∠ADE=∠BDC，DE=DC，∴△ADE ≌△BDC，∴AE=" BC" ，∠AED=∠BCD，DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF = CB=4， EF // CB，

∴AE= EF，CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF==4．

②．