Question

如图，已知二次函数y=﹣x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；

（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+4；M（1,5）；（2）2＜m＜4；（3）P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．

【解析】

试题（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．

试题解析：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，

解得 ∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4， 配方得y=﹣（x﹣1）2+5，

∴点M的坐标为（1，5）；

（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得， 解得：

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F

把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）

∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；

（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5） ∵MG=1，GC=5﹣4=1

∴MC==， 把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），

∵NG=GC，GM=GC， ∴∠NCG=∠GCM=45°， ∴∠NCM=90°，

由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点

①若有△PCM∽△BDC，则有

∵BD=1，CD=3， ∴CP===， ∵CD=DA=3， ∴∠DCA=45°，

若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴， ∵∠PCH=45°，CP= ∴PH==

把x=代入y=﹣x+4，解得y=， ∴P1（）；

同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y= ∴P2（）；

②若有△PCM∽△CDB，则有 ∴CP==3 ∴PH=3÷=3，

若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；

若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7

∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．

∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．