Question

如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．

（1）点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．

（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm²？

Answer

（1）不能；（2）5﹣秒、5秒或5+秒.

【解析】

(1)设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，列出方程求解即可；

(2)分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上（4＜t≤6）；③点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上（t>6）；进行讨论即可求解.

【解析】
（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分

由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x，

∴ (6﹣x)•2x=××6×8，

∴x2﹣6x+12=0．

∵b2﹣4ac＜0，

此方程无解，

∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；

（2）设t秒后，△PBQ的面积为1．分三种情况讨论：

①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4．

由题意知：(6﹣t)(8﹣2t)=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+（不合题意，应舍去），t2=5﹣；

②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知：(6﹣t)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5．

③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知： (t﹣6)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+，t2=5-（不合题意，应舍去）．

综上所述：经过5-秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1cm2.

故答案为：（1）不能；（2）5﹣秒、5秒或5+秒.