Question

如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两 点，AC平分∠EAB，CD⊥AE于D．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AB于F，如图2，判断CF和AF，DE之间的数量关系，并证明之；

（3）若AD-OA=1.5，AC=3，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）CF2=AF•DE；（3）.

【解析】

(1)连接OC，如图1，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，则有AD⊥CD可判断OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；

(2)连结CE，如图2，根据角平分线的性质得CD=CF，再证明Rt△ACD≌△ACF得到AD=AF，接着证明Rt△DEC∽Rt△DCA，理由相似得性质得DE:DC=DC:DA，然后利用等线段代换即可得到CF2=DE•AF；

(3)设⊙O的半径为r，由AD=AF，AD-OA=1.5可得到OF=1.5，再证明Rt△ACF∽Rt△ABC，利用相似比可计算出r=3，接着在Rt△FCO中，利用余弦的定义可求出∠COB=60°，然后根据扇形的面积公式和等边三角形面积公式和S阴影部分=S扇形BOC-S△BOC进行计算即可．

（1）【解析】
连接OC，如图1．

∵AC平分∠EAB，

∴∠1=∠2．

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥AD．

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD为⊙O的切线；

（2）【解析】
CF2=AF•DE．理由如下：

连结CE，如图2．

∵AC平分∠EAB，CD⊥AE，CF⊥AB，

∴CD=CF．

在Rt△ACD和△ACF中，，

∴Rt△ACD≌△ACF，

∴AD=AF．

∵四边形CEAB内接于⊙O，

∴∠DEC=∠B．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠2=90°，∠1+∠ACD=90°，∠1=∠2，

∴∠DEC=∠ACD，

∴Rt△DEC∽Rt△DCA，

∴DE：DC=DC：DA，

∴DC2=DE•DA，

∴CF2=DE•AF；

（3）【解析】
设⊙O的半径为r．

∵AD=AF，而AD﹣OA=1.5，

∴AF=AD=OA+OF=r+1.5，∴OF=1.5．

∵∠CAB=∠FAC，

∴Rt△ACF∽Rt△ABC，

∴ =，即=，

解得：r=3或r=-（舍去）．

在Rt△FCO中，∵cos∠COF===，

∴∠COB=60°，

∴S阴影部分=S扇形BOC﹣S△BOC

=-×32=π-.

故答案为：（1）证明见解析；（2）CF2=AF•DE；（3）.