Question

如图，BE是圆O的直径，A在EB的延长线上，AP为圆O的切线，P为切点，弦PD垂直于BE于点C．

（1）求证：∠AOD=∠APC；

（2）若OC：CB=1：2，AB=6，求圆O的半径及tan∠APB．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题（1）连接OP，可结合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性质进行证明；

（2）根据OC、BC的比例关系，可用未知数表示出OC、BC的表达式，进而可得OP、OB的表达式；在Rt△AOP中，PC⊥OA，根据射影定理得：PC2=PC•AC，PC2的表达式可在Rt△OPC中由勾股定理求得，由此求得未知数的知，从而确定PC、CE的长，也就能求出⊙O的半径和∠APB的正切值．

试题解析：（1）连接OP，

∵OP=OD，∴∠OPD=∠D，

∵PD⊥BE，

∴∠OCD=90°，

在Rt△OCD中，∠D+∠AOD=90°，

又∵AP是⊙O的切线，

∴AP⊥OP，

则∠OPD+∠APC=90°，

∴∠AOD=∠APC；

（2）连接PE，

∴∠BPE=90°（直径所对的圆周角是直角），

∵AP是⊙O的切线，

∴∠APB=∠OPE=∠PEA，

∵OC：CB=1：2，

∴设OC=x，则BC=2x，OP=OB=3x，

在Rt△OPC中，OP=3x，OC=x，由勾股定理得：

PC2=OP2﹣OC2=8x2，

在Rt△OPC中，PC⊥OA，由射影定理得：

PC2=OC•AC，即8x2=x（2x+6），6x2=6x，

解得x=0（舍去），x=1，

∴OP=OB=3，PC=2，CE=OC+OE=3+1=4，

∴tan∠APB=tan∠PEC=，

∴⊙O的半径为3，∠APB的正切值是．