Question

如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF ②△ABE∽△ACD，③BE＋DC＞DE④BE²＋DC²=DE²，其中正确的有（     ）个

A．1        B．2        C．3        D．4

Answer

C．

【解析】

试题解析：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，

∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．

在△AED与△AEF中，

，

∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABE=∠C=45°．

∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，

∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，

∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，

∴∠BAE与∠CAD不一定相等，

∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；

③∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．

在△ACD与△ABF中，

，

∴△ACD≌△ABF（SAS），

∴CD=BF，

由①知△AED≌△AEF，

∴DE=EF．

在△BEF中，∵BE+BF＞EF，

∴BE+DC＞DE，③正确；

④由③知△ACD≌△ABF，

∴∠C=∠ABF=45°，

∵∠ABE=45°，

∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．

在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，

∵BF=DC，EF=DE，

∴BE2+DC2=DE2，④正确．

故选C．