Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠B的平分线，交AC于点D，E是AB中点，ED交BC的延长线于点F．求证：AB=CF．

Answer

见解析

【解析】

根据等腰三角形的性质，可得∠ABC=∠ACB=72°，根据角平分线的性质，可得∠1=∠2=36°，可得DA与DB的关系，根据线段垂直平分线的判定与性质，可得FA与FB的关系，可得∠FAB与∠ABC的关系，根据三角形外角的关系，可得∠AFC=∠ACB-∠3=36°，根据等腰三角形的判定，可得AC与CF的关系，根据等量代换，可得答案．

证明：如图，连接AF，

∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2=36°，

∴∠1=∠BAD=36°，

∴DA=DB．

∵AE=BE，

∴FE⊥AB，即FE是AB的垂直平分线，

∴FA=FB，

∴∠FAB=∠ABC=72°，

∴∠3=∠FAB-∠BAC=36°，

∵∠ACB=∠3+∠AFC，

∴∠AFC=∠ACB-∠3=36°，

∴∠3=∠AFC，

∴AC=CF，

∴AB=CF．