Question

如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M，连接CM．

（1）求证：BE=AD；并用含α的式子表示∠AMB的度数；

（2）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．

Answer

（1）α；（2）△CPQ为等腰直角三角形．证明见解析.

【解析】

试题（1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；

（2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根据∠AFC=∠BFH，即可得到∠AMB=∠ACB=α；

（3）先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根据∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．

试题解析：(1)证明：如图①，∵∠ACB＝∠DCE＝α，

∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴BE＝AD.

(2)【解析】
如图①，∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE.

∵∠BAC＋∠ABC＝180°－α，

∴∠BAM＋∠ABM＝180°－α，

∴∠AMB＝180°－(180°－α)＝α.

(3)【解析】
△CPQ为等腰直角三角形．

证明：如图②，由(1)可得，BE＝AD.

∵AD，BE的中点分别为点P，Q，

∴AP＝BQ.

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAP＝∠CBQ.在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ(SAS)，

∴CP＝CQ且∠ACP＝∠BCQ.

又∵∠ACP＋∠PCB＝90°，

∴∠BCQ＋∠PCB＝90°，

∴∠PCQ＝90°，

∴△CPQ为等腰直角三角形．