Question

如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥DC，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的动点，∠B＝56°．当△DMN 的周长最小时，则∠MDN 的度数是_____

Answer

68°.

【解析】

延长DA至E点，使AD=AE,延长DC至F点，使CD=CF,可得E、N、M、F在同一直线上时△DMN 的周长最小，可得∠MDN的值.

【解析】
如图：

延长DA至E点，使AD=AE,又AB⊥AD，可得点D和E关于AB对称；

延长DC至F点，使CD=CF，又BC⊥DC，可得D和F关于CB对称,

连接EF,此时与AB、BC的交点N、M即为所求，连接DN、DM,

则：DN=EN,DM=MF,∠E=∠EDN, ∠E =∠FDM;

在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥DC，∠B＝56°，

易得∠ADC=180°-56°=124°,

在△DEF中, ∠E+∠F=180°-∠ADC=56°,

即∠EDN+∠FDM=56°，

∠MDN=∠ADC-（∠EDN+∠FDM）=124°-56°=68°，

故答案：68°.