Question

直角三角形纸片 ABC 中，∠ACB＝90°，AC≤BC．如图，将纸片沿某条直线折叠，使点 A 落在直角边 BC 上，记落点为 D．设折痕与 AB、AC 边分别交于点 E、点 F，当折叠后的△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，那么纸片中∠B 的度数是_____

Answer

45或30.

【解析】

因为△CDF中,∠C=90,且△CDF是等腰三角形,所CF=CD.所以∠CFD=∠CDF=45.设∠DAE=x,由对称性可知,AF=FD,AE=DE,所以∠FDA=∠CFD=22.5,∠DEB=2 x.

分DE=DB；BD=BE；DE=BE三种情况讨论可得∠B的度数.

【解析】
因为△CDF中,∠C=90,且△CDF是等腰三角形,所CF=CD.所以∠CFD=∠CDF=45.设∠DAE=x,由对称性可知,AF=FD,AE=DE,所以∠FDA=∠CFD=22.5,∠DEB=2 x.分类如下:

当DE=DB时，∠B=∠DEB=2 x.由∠CDE=∠DEB+∠B得45+22.5+x=4x.解得：x=22.5,此时∠B =45.图形见图(1).

当BD=BE时.则∠B=180-4x.由∠CDE=∠DEB+∠B得45+22.5+x=2x+180-4x.

解得：x=37.5.此时∠B=180-437.5=30,图形见图(2).

当DE=BE时,则∠B=()，由∠CDE=∠DEB+∠B得45+22.5+x=2x+,此方程无解,所以DE=BE不成立

综上所述: ∠B=45或∠B=30.