Question

如图，△ABC 是边长为 6 cm 的等边三角形，P 从点 A 岀发沿 AC 边向 C 运动， 与此同时 Q 从 B 出发以相同的速度沿 CB 延长线方向运动．当 P 到达 C 点时，P、Q 停止运动， 连接 PQ 交 AB 于 D

（1）设 P、Q 的运动速度为 1 cm/s，当运动时间为多少时，∠BQD＝30°？

（2）过 P 作 PE⊥AB 于 E，在运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED的长；如果变化请说明理由

Answer

(1) 运动时间为2s;(2) ED 的长不会发生变化，DE=3.

【解析】

(1) 根据三角形内角和为180, 可知△PQC为直角三角形, 根据特殊角的三角函数值即可求出AP的长后可得时间.

(2) 根据全等三角形的角角边判定定理可得,Rt△ABE≌Rt△BQF,再由全等三角形对应边相等可知:AE=BF,EP=QF, 因为EP//QF, 可知四边形EPFQ是平行四边形, 根据平行四边形对角线互相平分可得: DE=EF.EB+AE=BE+BF=AB,DE=AB., 由于△ABC是不变的, AB是定长, 即可证明当点P、 Q运动时, 线段DE的长度不会改变.

【解析】
(1)△ABC是边长为6的等边三角形,∠ACB=60.

∠BQD=30,∠QPC=90.

设AP=x,则PC=6-x,QB=x,

QC=QB+BC=6+x，PC=AC-AP=6-x，

在Rt△QCP中, ∠BQD=30,

PC=QC,即6-x= (6+x),

解得x=2，

又 P、Q 的运动速度为 1 cm/s，

运动的时间为2s；

(2) 当点P、 Q运动时, 线段ED的长度不会改变.理由如下:作QF⊥AB, 交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF.

PE⊥AB于E,∠DFQ=∠AEP=90.

点P、Q做匀速运动且速度相同,AP=BQ.

△ABC是等边三角形,

∠A=∠ABC=∠FBQ=60.

在△APE和△BQF中,

∠A=∠FBQ,AP=BQ,∠AEP=∠BFQ=90,

△APE≌△BQF (AAS).

AE=BF,PE=QF且PE∥QF.

四边形PEQF是平行四边形。

DE=EF.

EB+AE=BE+BF=AB,

DE=AB.

又等边△ABC的边长为6, DE=3.

当点P、Q运动时, 线段ED的长度不会改变.