Question

若 a、b、c 为△ABC 的三边，且满足 a²＋b²＋c²＝ab＋ac＋bc．点 D 是 AC边的中点，以点 D 为顶点作∠FDE＝120°，角的两边分别与直线 AB 和 BC 相交于点 F 和点 E

（1）试判断△ABC 的形状，说明理由

（2）如图 1，将△ABC 图形中∠FDE＝120°绕顶点 D 旋转，当两边 DF、DE 分别与边 AB 和射线BC 相交于点 F、E 时，三线段 BE、BF、AB 之间存在什么关系？证明你的结论

（3）如图 2，当角两边 DF、DE 分别与射线 AB 和射线 BC 相交两点 F、E 时，三线段 BE、BF、AB 之间存在什么关系

Answer

(1) △ABC为等边三角形,理由见详解；（2）3AB=2(BE+BF)，证明见详解；

（3）3AB=2(BE-BF).

【解析】

(1) a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，等式两边同时乘以2,可得，可得△ABC为等边三角形；

（2）连接BD，过D点作DG⊥BC，延长BG至H点，使得BG=GH，可证得△BDF≌△HDE，BF=EH，由BH=BE+EH，可得BE、BF、AB 之间的关系；

（3）同理连接BD，过D点作DG⊥BC，延长BG至H点，使得BG=GH，可证得△BDF≌△HDE，BF=EH，由BH=BE-EH，可得BE、BF、AB 之间的关系；

【解析】
（1）由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，等式两边同时乘以2，可得

2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，可得a2＋b2-2ab+ b2 +c2-2bc+ b2+c2-2ac=0

，a=b=c，

△ABC为等边三角形;

(2) 如图：

连接BD，，过D点作DG⊥BC，延长BG至H点，使得BG=GH，

易得DG为线段BH点的中垂线，BD=DH

易得∠DBC=∠ABD=30，∠H=30，∠BDH=120,

∠FDE＝120°,∠BDE为∠FDE与∠BDH的公共角

∠BDF＝∠EDH,

在△BDF与△EDH中，

∠ABD=∠H ；BD=DH；∠BDF＝∠EDH

△BDF≌△HDE

BF=EH,

又AD=DC=AC=AB, ∠ACB=60 GC=DC=AB,

BG= AB -AB=AB

BG=GH, BH=BE+EH,

2 AB=BE+EH, AB= BE+BF，

即：3AB=2(BE+BF);

(3)如图：

同理连接BD，，过D点作DG⊥BC，延长BG至H点，使得BG=GH，

易得DG为线段BH点的中垂线，BD=DH

可得△BDF≌△HDE

BF=EH

可得：BH=BE-EH， AB= BE-BF，

即3AB=2(BE-BF).