Question

已知如图，在平面直角坐标系中，点 B(m，0)、A(n，0)分别是 x 轴轴上两点， 且满足多项式(x²＋mx＋8)(x²－3x＋n)的积中不含 x³项和 x²项，点 P(0，h)是 y 轴正半轴上的动点

（1）求三角形△ABP 的面积（用含 h 的代数式表示）

（2）过点 P 作 DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD＝PB，PC＝AP

① 连接 AD、BC 相交于点 E，再连 PE，求∠BEP 的度数

② 连 CD 与 y 轴相交于点 Q，当动点 P 在 y 轴正半轴上运动时，线段 PQ 的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围

Answer

(1) m=3，n=1; =h;(2) ∠BEP=135;(3)PQ=1.

【解析】

（1）由多项式(x2＋mx＋8)(x2－3x＋n)的积中不含 x3项和 x2项，可求得m、n的值，可求得三角形△ABP 的面积；

(2)①又DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD＝PB，PC＝AP,可证△BPC≌△DPA，可得∠C=∠A，在CB的线段上取F点，使得CF=AE，连接PF，可得△CPF≌△APE，可得PF=PE, ∠CPF= ∠APE，可得△PEF为等腰直角三角形，可求出∠BEP 的度数；

②由DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD＝PB，PC＝AP，A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0），P点坐标（0，h），由旋转的特性，可得C点坐标为（-h，h-1），D点坐标（h，h+3），

可得CD的解析式，可得Q点坐标及PQ的长.

【解析】
(1) 多项式(x2＋mx＋8)(x2－3x＋n)的积中不含 x3项和 x2项,

展开得：

=

m-3=0，=0，

解得：m=3，n=1，

=ABOP= 2h=h；

（2）①如图：

由题意得：DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD＝PB，PC＝AP,

又∠APB=∠APB, ∠APC+∠APB=∠BPD+∠APB

∠APC=∠BPD,

在△BPC与△DPA中，

PD＝PB，PC＝AP，∠APC=∠BPD

△BPC≌△DPA，∠C=∠A

在CB的线段上取F点，使得CF=AE，连接PF,

在△CPF与△APE中，

∠C=∠A，CF=AE，PC＝AP，

△CPF≌△APE，PF=PE, ∠CPF= ∠APE,

∠FPE=90，又PF=PE，

△PEF为等腰直角三角形，

∠PEF=45，

∠BEP=135.

②由DP⊥PB，CP⊥PA，且 PD＝PB，PC＝AP，A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0），P点坐标（0，h），由旋转的特性，可得C点坐标为（-h，h-1），D点坐标（h，h+3），

设CD的解析式为y=kx+b，代入CD两点坐标，可得CD解析式为：，

故Q点坐标为（0，h+1），

P点坐标为（0，h）,

PQ的长为定值为：h+1-h=1.