Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F．

（1）如图1，求证：AE=DF；

（2）如图2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，若ME=MG，求证：BE=CG；

（3）如图3，若AB=2，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．求线段AE长度的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）∴＜AE≤2．

【解析】

（1）根据矩形的性质得到∠EAM=∠FDM=90°，根据全等三角形的判定定理得到△AEM≌△DFM（ASA），由全等三角形的性质即可得到结论；

（2）如图2，由ME=MG可得△MEG是等腰直角△，再由ME=MF可得△EFG也是等腰直角△，即，；由得，由、、，得△BEG≌△CGF（AAS），得BE=CG；

（3）根据四边形ABCD是矩形，得到∠A＝∠ADC＝90°，等量代换得到∠AEM＝∠DMC，根据相似三角形的性质得到，代入数据求得AE＝，当E、B重合时，AE最长为2，于是得到结论．

（1）如图1,

在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，

∵M是AD的中点，∴AM=DM，又∠AME=∠FMD，

在△AEM与△DFM中， ，

∴△AEM≌△DFM（ASA），∴AE=DF；

（2）如图2，

∵ME=MG，MG⊥EF，

∴△MEG是等腰直角△；

同理，△EFG也是等腰直角△，

∴即，，

∴，

∴，

∵、、，

∴△BEG≌△CGF（AAS），

∴BE=CG；

（3）①当C、G重合时，如图4，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∴∠AME+∠AEM=90°，

∵MG⊥EF，

∴∠EMG=90°，

∴∠AME+∠DMC=90°，

∴∠AEM=∠DMC，

∴△AEM∽△DMC，

∴，

∴，

∴AE=，

∴＜AE≤．