Question

观察发现：如图（1），⊙O是△ADC的外接圆，点B是边CD上的一点，且△ABC是等边三角形．OD与AB交于点E，以O为圆心、OE为半径的圆交AB于点F，连接CF、OF．

（1）求∠AOD的度数；

（2）线段AE、CF有何大小关系？证明你的猜想．

拓展应用：如图（2），△HJI是等边三角形，点K是IH延长线上的一点．点O是△JKI的外接圆圆心，OK与JH相交于点E．如果等边三角形△JHI的边长为2，请直接写出JE的最小值和此时∠JEO的度数．

Answer

观察发现：（1）∠AOD=120°；（2）结论：AE=CF．理由见解析；拓展应用： JE的最小值为，此时∠JEO=45°．

【解析】

观察发现：（1）利用圆周角定理即可解决问题；
（2）结论：AE=CF．想办法证明△AOE≌△COF即可；
拓展应用：以O为圆心，以OE长为半径作圆，交JH于F，连结IF，则由以上结论可得：JE=IF．根据垂线段最短即可解决问题；

【解析】

观察发现：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠AOD=2∠ACB=120°

（2）结论：AE=CF．

理由如下：∵∠AOD=120°，

∴∠OEF+∠OAF=60°，

∵∠OAC+∠OAF=60°，

∴∠OEF=∠OAC，

∵OE=OF，OA=OC，

∴∠OEF=∠OFE=∠OAC=∠OCA，

∴∠EOF=∠AOC，

∴∠EOF+∠AOF=∠AOC+∠AOF，

∴∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴AE=CF．

拓展应用：以O为圆心，以OE长为半径作圆，交JH于F，连结IF，则由以上结论可得：JE=IF．

当IF⊥JH时IF最小，IF=JI•sin60°=2×= ，

∵∠FJO=∠OIF，∠FGJ=∠OGI，

∴∠JOI=∠JFI=90°，

∴∠OJI=45°，

∴∠JEO=∠OJI=45°，

∴JE的最小值为，此时∠JEO=45°．