Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线y=-x的交点A、B的横坐标分别为2和．点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AB于点D，作PE⊥x轴交AB于点E．

（1）直接写出点A、B的坐标；

（2）求抛物线的关系式；

（3）判断△OBC形状，并说明理由；

（4）设点P的横坐标为n，线段PD的长为y，求y关于n的函数关系式；

（5）定义符号min{a，b）}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如min{2，0}=0，min{-3，4}=-3．直接写出min{-x²+bx+c，-x}的最大值．

Answer

（1）A（2-2），点B（-，）；（2）y=-x2+x+1；（3）△OBC是等腰直角三角形．理由见解析；（4）y=-n2+n+；（5）min{-x2+x+1，-x}最大值为.

【解析】

（1）A、B的横坐标分别为2和-，代入解析式y=-x可得点A，点B的坐标；
（2）用待定系数法可求解析式；
（3）由根据两点距离公式可求OB，OC，BC的长度，可得BC=OB，根据勾股定理逆定理可判断∠OBC=90°，即可求△OBC形状；
（4）由点P的横坐标为n，可求PE=-n2+n+1，根据题意可求∠BOC=45°=∠PED，根据勾股定理可求PD=y=PE，即可求y关于n的函数关系式；
（5）分①-x2+x+1≥-x时，②-x2+x+1＜-x时，两种情况讨论，可求min{-x2+x+1，-x}最大值．

（1）∵A、B的横坐标分别为2和，且点A，点B在直线y=-x上，

∴A（2-2），点B（-，），

（2）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A，点B，

∴，

解得：b=，c=1，

∴抛物线解析式y=-x2+x+1，

（3）△OBC是等腰直角三角形．

理由如下：∵抛物线y=-x2+x+1与y轴交于点C，

∴当x=0时，则y=1，

即点C坐标（0，1），

又∵点O（0，0），点B（-，），

∴OC=1，

OB==，

BC==，

∴OB=BC，

∵OB2+BC2=1，OC2=1，

∴OB2+BC2=OC2．

∴∠CBO=90°.

∴△OBC是等腰直角三角形．

（4）∵点P的横坐标为n，

∴点P（n，-n2+n+1），点E的坐标（n，-n），

∴PE=-n2+n+1-（-n）=-n2+n+1，

∵直线y=-x与x轴所成锐角为45°，

∴∠BOC=45°，

∵PE∥y轴，

∴∠PED=∠BOC=45°，且PD⊥AB，

∴PE=PD，

∴y=PE=（-n2+n+1）=-n2+n+，

（5），

①-x2+x+1≥-x时，min{-x2+x+1，-x}=-x，

即-x2+x+1≥-x，

解得：-≤x≤2，

∴-2≤min{-x2+x+1，-x}≤，

②-x2+x+1＜-x时，min{-x2+x+1，-x}=-x2+x+1，

即-x2+x+1＜-x，

解得：x＜-和x＞2，

当x＜-时，min{-x2+x+1，-x}＜，

当x＞2时，min{-x2+x+1，-x}＜-2，

综上所述：min{-x2+x+1，-x}最大值为.