Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F．

（1）求证：DC=DE；

（2）若AE=1，，求⊙O的半径．

Answer

(1)见解析;(2).

【解析】

（1）连接OD，由DH⊥AC，DH是⊙O的切线，然后由平行线的判定与性质可证∠C=∠ODB，由圆周角定理可得∠OBD=∠DEC，进而∠C=∠DEC，可证结论成立；

（2）证明△OFD∽△AFE，根据相似三角形的性质即可求出圆的半径.

（1）证明：连接OD，

由题意得：DH⊥AC，由且DH是⊙O的切线，∠ODH=∠DHA=90°，

∴∠ODH=∠DHA=90°，

∴OD∥CA，

∴∠C=∠ODB，

∵OD=OB，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠OBD=∠C，

∵∠OBD=∠DEC，

∴∠C=∠DEC，

∴DC=DE；

（2）【解析】
由（1）可知：OD∥AC，

∴∠ODF=∠AEF，

∵∠OFD=∠AFE，

∴△OFD∽△AFE，

∴，

∵AE=1，

∴OD=，

∴⊙O的半径为．