Question

如图，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) y=﹣x2+2x+3；(2)见解析.

【解析】

(1)将B（3，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+2x+c，可以求得抛物线的解析式；

(2) 抛物线的对称轴为直线x=1，设点Q的坐标为（1，t），利用勾股定理求出AC2、AQ2、CQ2，然后分AC为斜边，AQ为斜边，CQ时斜边三种情况求解即可.

【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），

∴，得，

∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形，

理由：∵抛物线y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，点B（3，0），点C（0，3），

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

∴点A的坐标为（﹣1，0），

设点Q的坐标为（1，t），则

AC2=OC2+OA2=32+12=10，

AQ2=22+t2=4+t2，

CQ2=12+（3﹣t）2=t2﹣6t+10，

当AC为斜边时，

10=4+t2+t2﹣6t+10，

解得，t1=1或t2=2，

∴点Q的坐标为（1，1）或（1，2），

当AQ为斜边时，

4+t2=10+t2﹣6t+10，

解得，t=，

∴点Q的坐标为（1，），

当CQ时斜边时，

t2﹣6t+10=4+t2+10，

解得，t=，

∴点Q的坐标为（1，﹣），

由上可得，当点Q的坐标是（1，1）、（1，2）、（1，）或（1，﹣）时，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形．