Question

如图，在正方形ABCD中，点P是边AB上一点，AB=5BP，点E在对角线AC上，△PEF是直角三角形，PE=PF，AE=2，△APF的面积为12，则BF的长是______．

Answer

【解析】

如图，作EM⊥AB于M，FN⊥AB于N，设EF交AB于点O．通过证明△PME≌△FNP，可以得到△AFN是等腰直角三角形，利用三角形面积公式求出FN，再求出BN．在Rt△BFN中，利用勾股定理即可解决问题．

如图，作EM⊥AB于M，FN⊥AB于N，设EF交AB于点O．

∵∠PME=∠FNP=∠EPF=90°，∴∠FPN+∠EPM=90°，∠NPF+∠PFN=90°，∴∠EPM=∠PFN．

∵PE=PF，∴△PME≌△FNP（AAS），∴PM=FN，EM=PN．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°．

∵ME⊥AB，∴△AME是等腰直角三角形，∴AM=ME，∴AM=PN，∴AM+MN=NP+MN，∴AN=MP．

∵PM=FN，∴AN=FN．

∵AE=2，∴AM=ME=．设FN=PM=x．

∵S△AFP=12，∴•（+x）•x=12，∴x=3或﹣4，∴PM=3，∴AP=4．

∵AB=5BP，∴AP=4PB，∴PB=，BN=2，∴BF===．