Question

在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．

（1）如图1，若∠BAD=15°，且CE=1，求线段BD的长；

（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF=CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM=BM．

Answer

(1) 2﹣ ;(2)见解析

【解析】（1）先求得：∠CAE=45°-15°=30°，根据直角三角形30°角的性质可得AC=2CE=2，再得∠ECD=90°-60°=30°，设ED=x，则CD=2x，利用勾股定理得：x=1，求得x的值，可得BD的长；

（2）如图2，连接CM，先证明△ACE≌△BCF，则∠BFC=∠AEC=90°，证明C、M、B、F四点共圆，则∠BCM=∠MFB=45°，由等腰三角形三线合一的性质可得AM=BM．

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=45°，

∵∠BAD=15°，

∴∠CAE=45°﹣15°=30°，

Rt△ACE中，CE=1，

∴AC=2CE=2，

Rt△CED中，∠ECD=90°﹣60°=30°，

∴CD=2ED，

设ED=x，则CD=2x，

∴CE=x，

∴x=1，

x=，

∴CD=2x=，

∴BD=BC﹣CD=AC﹣CD=2﹣；

（2）如图2，连接CM，

∵∠ACB=∠ECF=90°，

∴∠ACE=∠BCF，

∵AC=BC，CE=CF，

∴△ACE≌△BCF，

∴∠BFC=∠AEC=90°，

∵∠CFE=45°，

∴∠MFB=45°，

∵∠CFM=∠CBA=45°，

∴C、M、B、F四点共圆，

∴∠BCM=∠MFB=45°，

∴∠ACM=∠BCM=45°，

∵AC=BC，

∴AM=BM．