Question

在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（－3，5）与（5，－3）是一对“互换点”。

（1）任意一对“互换点”________（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；

（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，－5），求直线MN的表达式；

（3）在抛物线的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式.

Answer

（1）不一定；（2）y=－x－3；（3）.

【解析】

（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由b＝可得a＝，于是得到结论；

（2）把M（2，-5），N（-5，2）代入y=cx+d，即可得到结论；

（3）设点A（p，q），则q＝−，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=-1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．

（1）不一定，

设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．

①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，

②当ab≠0时，由b＝可得a＝，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上；

（2）由M（2，-5）得N（-5，2），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．

则有

解得，，

∴直线MN的表达式为y=-x-3；

（3）设点A（p，q），则q＝−，

∵直线AB经过点P（，），由（2）得＝−+p+q，

∴p+q=1，

∴p−＝1，

解并检验得：p=2或p=-1，

∴q=-1或q=2，

∴这一对“互换点”是（2，-1）和（-1，2），

将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，

∴，解得，

∴此抛物线的表达式为y=x2-2x-1．