Question

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：
若b′=，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．
（1）①点(，1)的限变点的坐标是             ；
②在点A（-2，-1），B（-1，2）中有一个点是函数y＝图象上某一个点的限变点，这个点是          ；（填“A”或“B”）
（2）若点P在函数y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2，求k的取值范围              ；
（3）若点P在关于x的二次函数y=x²-2tx+t²+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m-n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围        ．

Answer

（1）①（，1），②B，（2）5≤k≤8，（3）s=t2+1（t≥1），s的取值范围是s≥2

【解析】

（1）①直接根据限变点的定义直接得出答案；

②点（-1，-2）在反比例函数图象上，点（-1，-2）的限变点为（-1，2），据此得到答案；

（2）根据题意可知y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点必在函数y=的图象上，结合图象即可得到答案；

（3）首先求出y=x2-2tx+t2+t顶点坐标，结合t与1的关系确定y的最值，进而用m和n表示出s，根据t的取值范围求出s的取值范围．

（1）①根据限变点的定义可知点(，1)的限变点的坐标为（，1）； 

②（-1，-2）限变点为（-1，2），即这个点是点B． 

（2）依题意，y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点必在函数y=的图象上．

∴b′≤2，即当x=1时，b′取最大值2．

当b′=-2时，-2=-x+3．

∴x=5．    

当b′=-5时，-5=x-3或-5=-x+3．

∴x=-2或x=8．   

∵-5≤b′≤2，

由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．

（3）∵y=x2-2tx+t2+t=（x-t）2+t，

∴顶点坐标为（t，t）．

若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．

若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m=t；

当x＜1时，y的值小于-[（1-t）2+t]，即n=-[（1-t）2+t]．

∴s=m-n=t+（1-t）2+t=t2+1．

∴s关于t的函数解析式为s=t2+1（t≥1），

当t=1时，s取最小值2，

∴s的取值范围是s≥2．