Question

有一个n位自然数能被x₀整除，依次轮换个位数字得到的新数能被（x₀+1）整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被（x₀+2）整除，按此规律轮换后，能被（x₀+3）整除，…，能被（x₀+n﹣1）整除，则称这个n位数是x₀的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”．再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．

（1）请判断：自然数24　   　“轮换数”，245　   　“轮换数”（填“是”或“不是”）；

（2）若一个两位自然数的个位数字是m（0＜m＜5，且为整数），十位数字是2m，试说明：这个两位自然数一定是“轮换数”；

（3）若三位自然数是4的一个“轮换数”，其中b=0，请直接写出这个三位自然数．

Answer

（1）是，不是；（2）详见解析；（3）504.

【解析】

（1）分别判断能否被两个联系的整数整除即可；

（2）表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数，得到能整除即可；

（3）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．

（1）∵24是6的倍数，42是7的倍数，

∴自然数24是“轮换数”；

∵245的约数是5、7、7，452的约数有2、2、113；

当245被5整除时，而452不能被6整除；

当245被7整除时，而452不能被8整除；

∴245不是“轮换数”．

（2）此两位数为20m+m=21m=7m×3，是3的倍数； 轮换后为10m+2m=12m=4m×4，是4的倍数；

∴这个两位自然数一定是“轮换数”．

（3）此三位数为：100a+10b+c

当b=0时，三位数为：100a+10b+c=100a+c，

∵100a+c是4的倍数，而100a是4的倍数，

∴c是4的倍数，

∴c=4或8；

若c=4，轮换后为40+a是5的倍数，

∴a=5；

验证：再次轮换后为450是6的倍数，即这个三位数为：504

若c=8，则三位数为：100a+8；

轮换后为80+a是5的倍数，

∴a=5；

验证：再次轮换后为850不是6的倍数，即c=8舍去

综上所述，这个三位数为：504．