Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（     ）

①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S_△HDG：S_△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2 ﹣2．

A. 2     B. 3     C. 4     D. 5

Answer

C

【解析】

【解析】
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°．在△ABE和△DCF中，∵AB=CD，∠BAD=∠ADC，AE=DF，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF．在△ADG和△CDG中，∵AD=CD，∠ADB=∠CDB，DG=DG，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG．∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确．

同法可证：△AGB≌△CGB．∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确．

∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD．又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确．

取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD= =，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=．故⑤正确．

无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．