Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD垂直于过点C的直线DC，垂足为点D，且AC平分∠BAD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD=1，AB=5，求AC的长．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，由题意知∠DAC=∠OAC=∠OCA，据此得AD∥OC，根据AD⊥DC即可得证；
（2）连接BC，证△ADC∽△ACB即可得．

【解析】
（1）如图，连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠DAO，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DC，

∴OC⊥DC，

∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BC，

∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

又∵∠DAC=∠CAB，

∴△ADC∽△ACB，

则=，即AC2=AD•AB，

∵AD=1、AB=5，

∴AC2=5，

则AC=．