Question

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．

Answer

（1）D（2，8）；（2）（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）点P的横坐标为1+或4或0．

【解析】

（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）设P（m，−m2+2m+6），有四种情况：
①如图2，当G在y轴上时，过P作PQ⊥y轴于Q，作PM⊥x轴于M，
证明△PQG≌△PMB，则PQ=PM，列方程可得m的值；
②当F在y轴上时，如图3，过P作PM⊥x轴于M，同理得结论；
③当F在y轴上时，如图4，此时P与C重合；
④当G在y轴上时，如图5，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，列方程可得m的值．

【解析】
（1）把点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：

，

解得： ，

∴y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，

∴D（2，8）；

（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，

∴△FBG∽△BDE，

∴ ，

∵B（6，0），D（2，8），

∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，

∴BG=6﹣x，

∴ ＝ ＝ ，

当点F在x轴上方时，有6﹣x=2（﹣+2x+6），

解得x=﹣1或x=6（舍去），

此时F点的坐标为（﹣1，）；

当点F在x轴下方时，有6﹣x=2（－2x－6），

解得x=﹣3或x=6（舍去），

此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；

综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣ ）；

（3）设P（m，），

有三种情况：

①如图2，当G在y轴上时，过P作PQ⊥y轴于Q，作PM⊥x轴于M，

∵四边形PBFG是正方形，

∴PG=PB，

∵∠PQG=∠PMB=90°，∠QPG=∠MPB，

∴△PQG≌△PMB，

∴PQ=PM，

即m=﹣ m2+2m+6，

解得：m1=1+，m2=1﹣（舍），

∴P的横坐标为1+，

②当F在y轴上时，如图3，过P作PM⊥x轴于M，

同理得：△PMB≌△BOF，

∴OB=PM=6，

即﹣m2+2m+6=6，

m1=0（舍），m2=4，

∴P的横坐标为4，

③当F在y轴上时，如图4，此时P与C重合，

此时P的横坐标为0，

综上所述，点P的横坐标为1+ 或4或0．