Question

如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A旋转．

（1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论；

（2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，猜想线段CE，DF的大小关系如何？为什么？

Answer

（1）CE=DF（2）CE=DF

【解析】

（1）连接AC，易得△ABC、△ACD为正三角形，根据等边三角形的性质，利用ASA即可判定△AEC≌△AFD，因为全等三角形的对应边相等，所以CE=DF．

（2）结论CE=DF仍然成立，同（1）类似可得△ACE≌△ADF（AAS），从而求得结论．

（1）猜想：CE=DF．

如图①，连接AC，

∵菱形ABCD 中，∠ABC=60°，

∴△ABC、△ACD为正三角形．

∵AC=AD，∠ACE=∠ADF=60°，∠CAE=∠DAF=60°-∠CAF，

∴△AEC≌△AFD（ASA）．

∴CE=DF．

（2）CE=DF，

如图②，连接AC，

∵菱形ABCD 中，∠ABC=60°，

∴△ABC、△ACD为正三角形．

∵AC=AD，∠ACB=∠ADC=60°，

∴∠ACE=∠ADF=120°．

∵∠CAE=∠DAF=60°-∠DAE，

∴△ACE≌△ADF（AAS）．

∴CE=DF．