Question

如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BD交AB于点E，经过B，D，E三点作⊙O．

（1）求证：AC与⊙O相切于D点；

（2）若AD=15，AE=9，求⊙O的半径．

Answer

（1）见解析；（2）8．

【解析】

试题（1）连接OD，则有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以OD⊥AD，即可得出结论．

（2）根据OD⊥AD，则在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r，AD=15，AE=9，得到（r+9）2=152+r2，解方程即可．

（1）证明：连接OD，如图所示：

∵OD=OB，

∴∠1=∠2，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OD∥BC，

而∠C=90°，

∴OD⊥AD，

∴AC与⊙O相切于D点；

（2）【解析】
∵OD⊥AD，

∴在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，

又∵AD=15，AE=9，设半径为r，

∴（r+9）2=152+r2，

解方程得，r=8，

即⊙O的半径为8．