Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与直线y=x-3交于A，B两点，其中点B在y轴上，点A坐标为（-4，-5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以O，B，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，△PAB的面积是否有最大值？如果有，请求出此时点P的坐标．

Answer

（1）y=x2+x-3（2）存在，（-2-，-1-），（-1，-），（-3，-）（3）（-2，-8）

【解析】

（1）由题意可得点B（0，-3），将点B，点A坐标代入解析式，可求抛物线解析式；

（2）设P（m，m2+m-3），则点D（m，m-3），可得PD=|m2+4m|，以O，B，P，D为顶点的平行四边形且OB∥PD，可得PD=|m2+4m|=OB=3，可求m的值，即可得点P的坐标；

（3）设点P（x，x2+x-3），则点D（x，x-3），则PD=-x2-4x，由题意可得S△PAB=×PD×4，根据二次函数的性质，可求△PAB的面积的最大值．

（1）∵直线y=x-3交y轴于点B

∴B（0，-3），

∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-4，-5），点B（0，-3）

∴

解得：b=，c=-3

∴抛物线解析式y=x2+x-3

（2）存在，

设P（m，m2+m-3），（m＜0），

∴D（m，m-3），

∴PD=|m2+4m|

∵PD∥BO，

∴当PD=OB=3，故存在以O，B，P，D为顶点的平行四边形，

∴|m2+4m|=3，

①当m2+4m=3时，

∴m1=-2-，m2=-2+（舍），

当m=-2-时，则m2+m-3=-1-

∴P（-2-，-1-），

②当m2+4m=-3时，

∴m1=-1，m2=-3，

当m1=-1时，则m2+m-3=-，

∴P（-1，-），

当m2=-3，∴m2+m-3=-，

∴P（-3，-），

∴点P的坐标为（-2-，-1-），（-1，-），（-3，-）．

（3）设点P（x，x2+x-3），则点D（x，x-3），

∴PD=x-3-（x2+x-3）=-x2-4x

∵S△APB=×PD×4=-2x2-8x=-2（x+2）2+8

∴当x=-2时，△PAB的面积的最大值为8．

∴点P坐标（-2，-8）