Question

（1）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个正方形队列．现要将队列规模扩大，使得原队列的行、列数各增加3，形成一个新正方形队列，则需要补充39人进来，问原正方形队列共有多少人？

（2）等到该校秋季运动会时，由若干名同学组成一个8列的矩形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列，问原矩形队列共有多少人？

Answer

（1）原正方形队列共有25人；（2）原长方形队列共有136名同学

【解析】

（1）设原有方队的行、列数都是x，则根据“使得原队列的行、列数各增加3，形成一个新正方形队列，则需要补充39人进来”列出方程并解答；

（2）可设原有同学8n人，8n+120=a2，8n-120=b2，则存在a2-b2=240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值．

（1）设原有方队的行、列数都是x，则

（x+3）（x+3）﹣x2=39，

整理，得

6x+9=39，

解得x=5，

所以原有的人数是5×5=25（人）．

答：原正方形队列共有25人；

（2）设原有同学8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，

则存在a2﹣b2=240，

即（a+b）（a﹣b）=240．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，

故a+b=120，a﹣b=2，于是a=61，b=59（不合题意舍去）；

a+b=60，a﹣b=4，于是a=32，b=28，则8x=904．因为904﹣120=784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；

a+b=40，a﹣b=6，于是a=23，b=17（不合题意舍去）；

a+b=30，a﹣b=8，于是a=19，b=11（不合题意舍去）；

a+b=24，a﹣b=10，于是a=17，b=7（不合题意舍去）；

a+b=20，a﹣b=12，于是a=16，b=4，则8x=136；

a+b=16，a﹣b=15，于是a=15.5，b=0.5（不合题意舍去）．

故原长方形队列共有136名同学．