Question

如图，直线l₁：y₁=x和直线l₂：y₂=-2x+6相交于点A，直线l₂与x轴交于点B，动点P沿路线O→A→B运动．

（1）求点A的坐标，并回答当x取何值时y₁＞y₂？

（2）求△AOB的面积；

（3）当△POB的面积是△AOB的面积的一半时，求出这时点P的坐标．

Answer

（1）当x＞2时，y1＞y2；（2）3；（3）P（1，1）或（，1）．

【解析】

试题（1）当函数图象相交时，y1=y2，即﹣2x+6=x，再解即可得到x的值，再求出y的值，进而可得点A的坐标；当y1＞y2时，图象在直线AB的右侧，进而可得答案；

（2）由直线l2：y2=﹣2x+6求得B的坐标，然后根据三角形面积即可求得；

（3）根据题意求得P的纵坐标，代入两直线解析式求得横坐标，即为符合题意的P点的坐标．

【解析】
（1）∵直线l1与直线l2相交于点A，

∴y1=y2，即﹣2x+6=x，解得x=2，

∴y1=y2=2，

∴点A的坐标为（2，2）；

观察图象可得，当x＞2时，y1＞y2；

（2）由直线l2：y2=﹣2x+6可知，当y=0时，x=3，

∴B（3，0），

∴S△AOB=×3×2=3；

（3）∵△POB的面积是△AOB的面积的一半，

∴P的纵坐标为1，

∵点P沿路线O→A→B运动，

∴P（1，1）或（，1）．