Question

如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S_△BDE=S_△ACE，其中正确的有（　　）

A. ①③    B. ①②④    C. ①②③④    D. ①③④

Answer

C

【解析】

①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；

②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；

③证明△AEF≌△BED即可；

④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．

①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°．

∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE．在△DAE和△CBE中，∵，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①正确；

②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA=∠ECB．

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②正确；

③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．

∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．

在△AEF和△BED中，∵，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正确；

④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．

∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．

∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．

∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确．

故选C．