Question

CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_____CF；EF_____|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_____，使①中的两个结论仍然成立。

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并给出理由。．

Answer

==∠α+∠BCA=180°

【解析】

（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

(1)①如图1中，

E点在F点的左侧，

∵BE⊥CD,AF⊥CD,∠ACB=90∘，

∴∠BEC=∠AFC=90∘，

∴∠BCE+∠ACF=90∘,∠CBE+∠BCE=90∘，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△CAF(AAS)，

∴BE=CF，CE=AF，

∴EF=CF−CE=BE−AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF=AF−BE，

∴EF=|BE−AF|；

故答案为=，=.

②时，①中两个结论仍然成立；

证明：如图2中，

∵

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△CAF(AAS)，

∴BE=CF，CE=AF，

∴EF=CF−CE=BE−AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF=AF−BE，

∴EF=|BE−AF|；

故答案为

(2)EF=BE+AF.

理由是：如图3中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，

又∵

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

∴△BEC≌△CFA(AAS)，

∴AF=CE，BE=CF，

∵EF=CE+CF，

∴EF=BE+AF.