Question

如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax²﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．

（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；

（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）详见解析

（2）

（3）详见解析

【解析】

（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定和性质可得点D的坐标。

（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求M的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式。

（3）分点P在CD的上面下方和点P在CD的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P的坐标：

设P,

当点P在CD的上面下方，根据菱形的性质，知点P是AD与抛物线的交点，由A,D的坐标可由待定系数法求出AD的函数表达式:,二者联立可得P1（）；

当点P在CD的上面上方，易知点P是∠D的外角平分线与抛物线的交点，此时，∠D的外角平分线与直线AD垂直，由相似可知∠D的外角平分线PD的斜率等于－2，可设其为，将D（10，8）代入可得PD的函数表达式:,与抛物线联立可得P2（﹣5，38）。

（1）证明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），

∴AB=6+4=10，。∴AB=AC。

由翻折可得，AB=BD，AC=CD。∴AB=BD=CD=AC。∴四边形ABCD是菱形。

∴CD∥AB。

∵C（0，8），∴点D的坐标是（10，8）。

（2）∵y=ax2﹣10ax+c，∴对称轴为直线。

设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，

∴，解得。

∴直线BC的解析式为y=﹣2x+8。

∵点M在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2。

∴M（5，，－2）.

又∵抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C和M，

∴，解得。

∴抛物线的函数表达式为。

（3）存在。点P的坐标为P1（），P2（﹣5，38）